Транскрипт

1 Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная величина a, превышающая расстояние между F 1 и. M(, x) F 1 О F x Рис. Точки F 1 и F называются фокусами эллипса, а расстояние FF 1 между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Пусть точка M принадлежит эллипсу. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M. Пусть F1F = c. По определению a > c. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. В этой системе координат эллипс описывается каноническим уравнением: x + = 1, a b 1

2 . где b= a c Параметры a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется число ε, равное отношению половины его фокального c расстояния к большой полуоси, т.е. ε =. Эксцентриситет эллипса a удовлетворяет неравенствам 0 ε < 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Каноническое уравнение гиперболы имеет вид x a = b 1,. где b= c a Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Внутри области, определяемой неравенством точек гиперболы нет. x a b Определение. Асимптотами гиперболы называются прямые, b b заданные уравнениями = x, = x. a a Фокальные радиусы точки M(x,) гиперболы могут быть найдены по формулам r 1 = ε x a, r = ε x+ a. Эксцентриситет гиперболы, как и для эллипса, определяется c формулой ε =. Нетрудно проверить, что для эксцентриситета гиперболы верно неравенство ε a >1. Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, для которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F. Точка F называется фокусом параболы, а прямая d директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p. d M (x,) F x Рис. 4 3

4 Выберем начало O декартовой системы координат на середине отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из точки F на прямую d. В этой системе координат фокус F имеет координаты F p p ;0, а директриса d задается уравнением x + = 0. Каноническое уравнение параболы: = px. Парабола симметрична относительно оси OF, называемой осью параболы. Точка O пересечения этой оси с параболой называется вершиной параболы. Фокальный радиус точки M (x,) т.е. ее p расстояние до фокуса находится по формуле r = x+. 10B.. Общее уравнение линии второго порядка Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты x и которых удовлетворяют уравнению a x + a x+ a + a x+ a + a =0, 11 1 где a11, a1, a, a10, a0, a00 некоторые действительные числа, причем a, a, a не равны нулю одновременно. Это уравнение называется общим уравнением кривой второго порядка и может быть также записано в векторной форме rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, где 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10; a0), x = (x;). T Поскольку A = A, то A матрица квадратичной формы r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Эллипс, гипербола и парабола являются примерами кривых второго порядка на плоскости. Кроме названных кривых существуют и другие виды кривых второго порядка, которые связаны с x прямыми. Так, например, уравнение = 0, где a 0, b 0, a b 4

5 задает на плоскости пару пересекающихся прямых. Системы координат, в которых уравнение кривой принимает наиболее простой вид, называются каноническими. При помощи композиции преобразований: поворота осей на угол α, параллельного переноса начала координат в точку (x0; 0) и отражения относительно оси абсцисс уравнение кривой второго порядка приводится к одному из канонических уравнений, основные из которых были перечислены выше. 11BПримеры 1. Составить каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами, расположенными на оси абсцисс, если известно, что его эксцентриситет ε = и точка N(3;) лежит на 3 эллипсе. x a b Уравнение эллипса: + = 1. Имеем, что =. a b a 3 9 Отсюда вычислим, что a = b. Подставляя координаты точки N(3;) в уравнение, получим + = 1 и далее b = 9 и a b 81 a = = 16,. Следовательно, каноническое уравнение эллипса 5 x + = 1. 16, 9. Составить каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами, расположенными на оси абсцисс, если даны точка M 1 (5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε =. x Каноническое уравнение гиперболы = 1. Из равенства a b a + b = имеем b = a 5 9. Отсюда = 1 и a =16. Следовательно, каноническое уравнение эллипса = a a a x 16 5

6 3. Найдите на параболе = 10x точки, фокальный радиус которых равен 1,5. Заметим, что парабола расположена в правой полуплоскости. Если M (x; лежит на параболе, то x 0. Параметр p = 5. Пусть (;)) M x искомая точка, F фокус, () директриса параболы. Тогда F,5; 0, d: x=,5. Поскольку FM = ρ(M, d), то x +,5 = 1,5, 10 Ответ: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Итак, получили две точки. M 10; 10 M, () 4. На правой ветви гиперболы, заданной уравнением x = 1, найдите точку, расстояние которой от правого фокуса в 16 9 два раза меньше ее расстояния от левого фокуса. Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы определяются формулами r 1 = ε x a и r = ε x + a. Следовательно, получим уравнение ε x + a = (ε x a). Для данной гиперболы a = 4, 5 c = = 5 и ε =. Поэтому, x = 9,6. Отсюда имеем =± x 16 =± d Ответ: две точки M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Найдите уравнение линии, для любой точки которой отношение расстояния до точки F (3;0) к расстоянию до прямой 1 x 8= 0 равно ε =. Указать название линии и ее параметры. M x; искомой линии верно равенство: Для произвольной точки () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 Отсюда имеем [(x 3) + ] = (x 8). Раскрыв скобки и произведя перегруппировку слагаемых, получим (x+) + = 50, т.е. (x+) + = Ответ: искомая линия есть эллипс с центром в точке и полуосями a = 5 и b = Найдите уравнение гиперболы Старые координаты координат O () x ; 0 ; ;, ;. C(;0) = 8 в новой системе (x ;) и новые (zt ;) связаны матричным равенством 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Значит, уравнение x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Ответ: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 к кано- 7. Привести кривую ническому виду. в новых координатах имеет вид Рассмотрим квадратичную форму () q x, = 4x 4x+. Мат- 4 рица формы q имеет собственные значения 5 и 0 и соответствующие им ортонормированные векторы и Перейдем к новой системе координат: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Выразим старые координаты (x;) через новые (zt) ; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t значит, x = z+ t, = z+ t Подставляя указанные выражения в уравнение кривой γ, получаем 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t () () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. Значит, в новых координатах кривая γ задается уравнением 1 3 γ: z z =. Полагая = z, x = t, получим γ: =, 1 откуда находим каноническое уравнение кривой γ: = 0 в канонических координатах = 5 x 1 1 x Заметим, что кривая γ является парой параллельных прямых. 1BПриложения к экономическим и финансовым задачам 8. Пусть Аня, Борис и Дмитрий имеют по 150 рублей на закупку фруктов. Известно, что 1 кг груш стоит 15 денежных единиц, а 1 кг яблок стоит 10 денежных единиц. При этом каждый из троих 8

9 имеет свою функцию полезности, для которой он хочет обеспечить максимум при покупке. Пусть покупается x1 кг груш и x кг яблок. Эти функции полезности следующие: u = x + x для Ани, 1 A 1 x u B = +x для Бориса и ud = x1 x для Дмитрия. Требуется найти для Ани, Бориса и Дмитрия план (x1, x) покупки, при котором они обеспечивают максимум своей функции полезности. x Рис. 5 Рассматриваемая задача может быть решена геометрически. Для решения данной задачи следует ввести понятие линии уровня. x x 1 Рис. 6 Линией уровня функции z = f(x,) называется множество всех точек на плоскости, на котором функция сохраняет постоянное значение, равное h. x 9

10 При этом для решения будут также использованы начальные представления о геометрических областях на плоскости, задаваемых линейными неравенствами (см. подраздел 1.4). x x 1 Рис. 7 Линии уровня функций ua, u B и u D представляют собой прямые, эллипсы и гиперболы для Ани, Бориса и Дмитрия, соответственно. По смыслу задачи считаем, что x1 0, x 0. С другой стороны, бюджетное ограничение записывается в виде неравенства 15x1+ 10x 150. Разделив на 10 последнее неравенство, получим 3x1+ x 30, или + 1. Нетрудно видеть что x1 x областью решений этого неравенства вместе с условиями неотрицательности является треугольник, ограниченный прямыми x1 = 0, x = 0 и 3x1+ x =

11 X * X * Рис. 8 Рис. 9 Исходя из геометрических рисунков, легко теперь установить, что uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 и udmax = ud(Q). Координаты точки Q касания гиперболы уровня стороны бюджетного треугольника требуется уже вычислить аналитически. Для этого заметим, что точка Q удовлетворяет трем уравнениям: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Рис

12 Исключая из уравнений h, получим координаты точки Q= (x, x) = (5;7,5). 1 Ответ: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Нелинейная модель издержек и прибыли фирмы. Пусть фирма производит многоцелевое оборудование двух видов A и B в количестве x и единиц продукции соответственно. При этом доходы фирмы за год выражаются функцией доходов Rx (,) = 4x+, а издержки на производство выражаются функцией издержек 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4 котором фирма получает максимум прибыли.. Определить план производства (x,) при 3

13 Функция прибыли составляется как разность между функцией доходов и функцией издержек: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Проделав преобразования, последнее выражение приведем к виду 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Линии уровня для функции прибыли имеют вид (x 8) (1) = h. 4 Каждая линия уровня 0 h 9 представляет собой эллипс с центром в начале координат. Из полученного выражения легко видеть, что максимум функции прибыли равен 9 и достигается при x= 8, = 1. Ответ: x = 8, = 1. 13BУпражнения и тестовые вопросы.1. Напишите нормальное уравнение окружности. Найдите координаты центра и радиус окружности: а) x + + 8x 6=0; б) x x = 0... Составьте уравнение окружности, проходящей через точки M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3. Дайте определение эллипса и напишите его каноническое уравнение. Напишите каноническое уравнение эллипса, если 1 его эксцентриситет равен ε =, а большая полуось равна Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что расстояние между его фокусами с = 4 и эксцентриситет ε = Приведите определение эксцентриситета эллипса. Найдите эксцентриситет эллипса, если его большая полуось в четыре раза больше малой. 33

14 .6. Дайте определение гиперболы и напишите ее каноническое уравнение. Через точку M (0; 0,5) и правую вершину гиперболы, за- x данной уравнением = 1, проведена прямая. Найдите координаты второй точки пересечения прямой и гиперболы Дайте определение эксцентриситета гиперболы. Напишите ее каноническое уравнение, если a = 1, b = 5. Чему равен эксцентриситет этой гиперболы?.8. Напишите уравнения асимптот гиперболы, заданной своим каноническим уравнением. Составьте уравнение гиперболы, 3 если ее асимптоты заданы уравнениями =± x и гипербола 5 проходит через точку M (10; 3 3)..9. Дайте определение параболы и напишите ее каноническое уравнение. Составьте каноническое уравнение параболы, если ось абсцисс является ее осью симметрии, ее вершина лежит в начале координат и длина хорды параболы, перпендикулярной оси Ox, равна 8, а расстояние этой хорды от вершины равно На параболе = 1x найдите точку, фокальный радиус которой равен Предложение и спрос на некоторый товар задаются функциями p = 4q 1, p = +. Найти точку рыночного равновесия. 1 q Построить графики..1. Андрей, Катя и Николай собираются купить апельсины и бананы. Покупается x1 кг апельсинов и x кг бананов. Каждый из троих имеет свою функцию полезности, которая показывает, насколько полезной он считает свою покупку. Эти функции полезности следующие: u = x + x для Андрея, 1 4 A 4 1 u K = x + x для Кати и un = x1 x для Николая. а) Постройте линии уровня функции полезности для значений уровня h=1, 3. б) Для каждого расположите в порядке предпочтения покуп- r r r ки r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1). 34

Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2)

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn) = D и r= r + a, причем (an,) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Кривые второго порядка. Определение: Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и) невырожденные Вырожденные

Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович [email protected] Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M (1); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (,)=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и) невырожденные Вырожденные

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Глава 1 Кривые и поверхности второго порядка Во всех разделах, кроме 1.9, система координат прямоугольная. 1.1. Составление уравнений кривых второго порядка и других кривых 1. р) Доказать, что множество

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F(x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Линии второго порядка Ю. Л. Калиновский Кафедра высшей математики Университет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Линии второго порядка: геометрическое место точек, декартовы координаты которого удовлетворяют уравнению

44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка (продолжение) Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 4. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямые a m называются дирек-

1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A (1) B (3 1) C (0 4) являются

Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Поверхности второго порядка. Поверхность в трехмерном пространстве описывается уравнением вида F(x; y; z) = 0 или z = f(x; y). Пересечение двух поверхностей задает линию в пространстве, т.е. линия в пространстве

(МИФ-2, №3, 2005)

Линии второго порядка на плоскости

П. 1. Определение линии второго порядка

Рассмотрим плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат (XOY). Тогда любая точка M однозначно определяется своими координатами (x, y). Кроме того, любая пара чисел (x, y) определяет некоторую точку плоскости. Координаты точек могут удовлетворять некоторым условиям, например, какому-нибудь уравнению f(x, y)=0 относительно неизвестных (x, y). В этом случае говорят, что уравнение f(x, y)=0 задает на плоскости некоторую фигуру. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим функцию y = f(x ). Координаты точек графика этой функции удовлетворяют уравнению y – f(x ) = 0.

Пример 2. Уравнение (*), где a , b , c – некоторые числа, задают на плоскости некоторую прямую. (Уравнения вида (*) называют линейными ).

Пример 3. График гиперболы состоит из точек, координаты которых удовлетворяют уравнению https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25">.

Определение 1. Уравнение вида (**), где хотя бы один из коэффициентов DIV_ADBLOCK53">

Мы рассмотрим геометрические и физические свойства названных выше линии. Начнем с эллипса.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса.

О виде эллипса можно судить по рисунку 1.

Положим . Точки называются фокусами эллипса. С фокусами связан ряд интересных свойств, о которых мы будем говорить ниже.

Определение 4. Гиперболой называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют уравнению

(2).

Уравнение (2) называется каноническим уравнением гиперболы. О виде гиперболы можно судить по рисунку 2.

Положим . Точки называются фокусами гиперболы. Параметр a называется действительной , а параметр b - мнимой полуосью гиперболы, соответственно ox – действительная, а oy – мнимая оси гиперболы.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">, называются асимптотами . При больших значениях параметра x точки асимптот бесконечно близко приближаются к ветвям гиперболы. На рисунке 2 асимптоты изображены пунктирными линиями.

Определение 5. Параболой называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют уравнению

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

П. 3. Свойства фокусов ЛВП

Для каждой ЛВП в П.2. указывались специальные точки – фокусы . Эти точки играют большую роль для объяснения важных свойств эллипса, гиперболы и параболы. Мы сформулируем эти свойства в виде теорем.

Теорема. 1. Эллипс есть множество точек M , таких, что сумма расстояний от этих точек до фокусов равно 2 a :

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Для того чтобы сформулировать аналогичное свойство для параболы, определим директрису . Это прямая d , заданная уравнением https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

П. 4. Фокусы и касательные

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> принадлежит соответствующей ЛВП. Ниже приведены уравнения касательных, проходящих через эту точку:

– для эллипса, (7)

– для гиперболы, (8)

– для параболы. (9)

Если в точку касания с эллипсом или гиперболой провести отрезки из обоих фокусов (их называют фокальными радиусами точки), то обнаружится замечательное свойство (смотри рис.5 и 6): фокальные радиусы образуют равные углы с касательной, проведенной в этой точке.

Это свойство имеет интересную физическую интерпретацию. Например, если считать контур эллипса зеркальным, то, лучи света от точечного источника, помещенного в одном его фокусе, после отражения от стенок контура обязательно пройдут через второй фокус .

Большое практическое применение получило аналогичное свойство для параболы. Дело в том, что фокальный радиус любой точки параболы составляет с касательной, проведенной в эту точку угол, равный углу между касательной и осью параболы .

Физически это интерпретируется так: лучи точечного , помещенного в фокусе параболы, после отражения от ее стенок распространяются параллельно оси симметрии параболы . Именно поэтому зеркала фонарей и прожекторов имеют параболическую форму. Кстати, если параллельный оси параболы поток света (радиоволн) входит в нее, то, после отражения от стенок, все его лучи пройдут через фокус. На этом принципе работают станции космической связи, а также радары.

П. 5. Еще немного физики

ЛВП нашли широкое применение в физике и астрономии . Так, было установлено, что одно относительно легкое тело (например, спутник) движется в поле силы тяготения более массивного тела (планеты или звезды) по траектории, представляющей собой одну из ЛВП. При этом более массивное тело находится в фокусе этой траектории.

Впервые эти свойства подробно изучил Иоганн Кеплер и они были названы Законами Кеплера.

Контрольное задание № 1 для учащихся 10 классов

Вопросы для самопроверки (5 баллов за задание)

М.10.1.1. Дайте определение ЛВП. Приведите несколько примеров уравнений, которые задают ЛВП.

М.10.1.2. Вычислите координаты фокусов а) эллипса, б) гиперболы, если a =13, b =5.

М.10.1.3. Составьте каноническое уравнения а) эллипса, б) гиперболы, если известно, что эта линия проходит через точки с координатами (5, 6) и (-8, 7).

М.10.1.4. Проверьте, что прямая, заданная уравнением (9) действительно пересекается с параболой, заданной уравнением (3) только в точке с координатами . (Указание : сначала подставьте уравнение касательной в уравнение параболы, а затем убедитесь, что дискриминант получившегося квадратного уравнения равен нулю .)

М.10.1.5. Составьте уравнение касательной к гиперболе с действительной полуосью 8 и мнимой – 4 в точке с координатой x =11, если вторая координата точки отрицательна.

Практическая работа (10 баллов)

М.10.1.6. Постройте несколько эллипсов по следующему методу: закрепите лист бумаги на фанере и воткните в бумагу (но не до конца) пару кнопок. Возьмите кусок нитки и свяжите концы. Накиньте получившуюся петлю на обе кнопки (фокусы будущего эллипса), острым концом карандаша натяните нить и аккуратно проведите линию, следя за тем, чтобы нить была натянута. Изменяя размеры петли, вы сможете построить несколько софокусных эллипсов. Попробуйте объяснить с помощью Теоремы 1, что полученные линии действительно эллипсы и объясните, как, зная расстояние между кнопками и длину нитки, можно рассчитать полуоси эллипса.

11.1. Основные понятия

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения - действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

11.2. Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка в прямоугольной системе координат имеет координаты x 0 , y 0 а - произвольная точка окружности (см. рис. 48).

Тогда из условия получаем уравнение

(11.2)

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при x 2 и у 2 равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и , получим

Преобразуем это уравнение:

(11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии . Ее центр находится в точке , а радиус

Если же , то уравнение (11.3) имеет вид

Ему удовлетворяют координаты единственой точки . В этом случае говорят: “окружность выродилась в точку” (имеет нулевой радиус).

Если , то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определят никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая – не отрицательная (говорять: “окружность мнимая”).

11.3. Эллипс

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 , расстояние между ними через 2c , а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов - через 2a (см. рис. 49). По определению 2a > 2c , т. е. a > c .

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка F 1 F 2 . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Пусть - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Так как a >с , то . Положим

(11.6)

Тогда последнее уравнение примет вид или

(11.7)

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническимуравнением эллипса .

Эллипс - кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки ,,. Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки A 1 , A 2 , B 1 , B 2 называются вершинами эллипса . Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 , а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса.лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми .

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением . Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»):

причем 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х;у) -- произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2 (см. рис. 51). Длины отрезков F 1 M=r 1 и F 2 M = r 2 называются фокальными радиусами точки Μ. Очевидно,

Имеют место формулы

Прямые называются

Теорема 11.1. Если - расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось - на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .

11.4. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 расстояние между ними через 2с , а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2a . По определению 2a < 2с , т. е. a < c .

Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси , а начало координат совпало с серединой отрезка F 1 F 2 (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты и

Пусть - произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы или , т.е.. После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

(11.9)

(11.10)

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением.

1. Уравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью : и . Положив в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки и называются вершинами гиперболы, а отрезок

действительной осью , отрезок - действительной полуосью гиперболы.

Отрезок , соединяющий точки и называется мнимой осью , число b - мнимой полуосью . Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы .

3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше единицы т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда возрастает, то и возрастает. Это следует из того, что разность сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты:

(11.11)

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка на гиперболе (см.рис. 56), и найдем разность ΜΝ между ординатами прямой и ветви гиперболы:

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель - есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка ΜΝ стремится к нулю. Так как ΜΝ больше расстояния d от точки Μ до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые являются асимптотами гиперболы (11.9).

При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины и , гиперболы.

Уравнение равносторонней гиперболы.

асимптотами которой служат оси координат

Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (). Ее каноническое уравнение

(11.12)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.

Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат на угол . Используем формулы поворота осей координат:

Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид .

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства (11.10) следует, что т.е. и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

Фокальные радиусы и для точек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой - и .

Прямые - называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы ε > 1, то . Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая - между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.

Кривая, определяемая уравнением также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2a - на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром.

Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

11.5. Парабола

Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или .

1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии параболы.

2. Так как ρ > 0, то из (11.13) следует, что . Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу.

3. При имеем у = 0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.

4. При неограниченном возрастании x модуль у также неограниченно возрастает. Парабола имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка О(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения , , (p>0 ) также определяют параболы, они изображены на рисунке 62

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где , B и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

11.6. Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны a и b . Поместим в центре эллипса O 1 начало новой системы координат , оси которой и полуосями a и b (см. рис. 64):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие уравнения.

Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 11.2 . Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А · С > 0), либо гиперболу (при А · С < 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат (B¹ 0). Можно, путем поворота координатных осей на угол a , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол a так, чтобы коэффициент при х" · у" обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).

Вывод : общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае cos2α = 0 (см. (11.16)), тогда 2α = 90°, т. е. α = 45°. Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45°.

В декартовых координатах уравнение первой степени определяет некоторую прямую.

Линии, которые в декартовых координатах определяются уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Следовательно, каждая прямая есть линия первого порядка.

Общее уравнение прямой (как общее уравнение первой степени) определяется уравнением вида:

Ах + Ву + С = 0.

Рассмотрим неполные уравнения прямой.

1. С = 0. Уравнение прямой имеет вид: Ах + Ву = 0; прямая проходит через начало координат.

2. В = 0 (А ¹ 0). Уравнение имеет вид Ах + С = 0 или х = а , где а = Прямая проходит через точку А (а ; 0),она параллельна оси Оу . Число а Ох (рис. 1).

Рис. 1

Если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу . Уравнение оси ординат Оу имеет вид : х = 0.

3. А = 0 (В ¹ 0). Уравнение имеет вид: Ву + С = 0 или у = b , где b = . Прямая проходит через точку В (0; b ),она параллельна оси Ох . Число b есть величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу (рис. 2).

Рис. 2

Если b = 0, то прямая совпадает с осью абсцисс Ох. Уравнение оси абсцисс Ох имеет вид: у = 0.

Уравнение прямой в отрезках на осях определяется уравнением:

Где числа а и b являются величинами отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (рис. 3).

(х 0 ; у 0) перпендикулярно нормальному вектору = {A ; B }, определяется по формуле:

А (х – х 0) + В (у – у 0) = 0.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х 0 ; у 0) параллельно направляющему вектору = {l ; m }, имеет вид:

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2), определяется уравнением:

Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Ох , который отсчитывается от положительного направления оси к прямой против часовой стрелки, k = tgα.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:

у = kх + b ,

где k = tgα, b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу (рис. 4).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х 0 ; у 0) в данном направлении (угловой коэффициент k известен), определяется по формуле:

у – у 0 = k (х – х 0).

Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку М (х 0 ; у 0) (угловой коэффициент k неизвестен), определяется по формуле:

у – у 0 = k (х – х 0).

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых

А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0, определяется по формуле:

α(А 1 х + В 1 у + С 1) + β(А 2 х + В 2 у + С 2) = 0.

Угол j, отсчитанный против часовой стрелки от прямой у = k 1 х + b 1 к прямой у = k 2 х + b 2 , определяется формулой (рис. 5):

Для прямых, заданных общими уравнениями А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0, угол между двумя прямыми определяется по формуле:

Условие параллельности двух прямых имеет вид : k 1 = k 2 или .

Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид : или А 1 А 2 + В 1 В 2 = 0.

Нормальное уравнение прямой имеет вид :

x cosα + y sinα – p = 0,

где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, α – угол наклона перпендикуляра к положительному направлению оси Ох (рис. 6).

Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 к нормальному виду, нужно все его члены умножить на нормирующий множитель μ = , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С .

Расстояние от точки М (х 0 ; у 0) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле:

Уравнения биссектрис углов между прямыми А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0 имеют вид:

Пример 4 . Даны вершины треугольника АВС : А (–5; –7), В (7; 2), С (–6; 8). Найти: 1) длину стороны АВ ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В ; 4) уравнение медианы АЕ ; 5) уравнение и длину высоты СD ; 6) уравнение биссектрисы АК ; 7) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ ; 8) координаты точки М , расположенной симметрично точке А относительно прямой СD .

1. Расстояние d между двумя точками А (х 1 ; у 1) и В (х 2 ; у 2) определяется по формуле:

Найдем длину стороны АВ как расстояние между двумя точками А (–7; –8) и В (8; –3):

2. Уравнение прямой, проходящей через точки А (х 1 ; у 1) и В (х 2 ; y 2), имеет вид:

Подставляя координаты точек А и В , получим уравнение стороны АВ :

3(х + 5) = 4(у + 7); 3х – 4у – 13 = 0 (AВ ).

Для нахождения углового коэффициента k AB прямой (АВ ) разрешим полученное уравнение относительно у :

4y = 3x – 13;

– уравнение прямой (АВ )с угловым коэффициентом,

Аналогично подставляя координаты точек В и С , получим уравнение прямой (ВС ):

6х – 42 = –13у + 26; 6x + 13y – 68 = 0 (BC ).

Разрешим уравнение прямой (ВС )относительно у : .

3. Тангенс угла j между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k 1 и k 2 , определяется по формуле:

Внутренний угол В образован прямыми (АВ ) и (ВС ), причем это острый угол, на который надо повернуть прямую ВС в положительном направлении (против часовой стрелки) до ее совпадения с прямой (АВ ). Поэтому подставим в формулу k 1 = , k 2 = :

ÐВ = arctg = arctg 1,575 » 57,59°.

4. Чтобы найти уравнение медианы (АЕ ), определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС. Для этого применим формулы деления отрезка на две равные части:

Следовательно, точка Е имеет координаты: Е (0,5; 5).

Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А и Е , находим уравнение медианы (АЕ ):

24х – 11у + 43 = 0 (АЕ ).

5. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ , то прямая (АВ )перпендикулярна прямой (CD ). Для нахождения углового коэффициента высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х 0 ; у 0) в заданном направлении (угловой коэффициент k известен), имеет вид:

y – у 0 = k (x – x 0).

Подставляя в последнее уравнение координаты точки С (–6; 8) и , получим уравнение высоты CD :

у – 8 = (х – (–6)), 3у – 24 = – 4х – 24, 4х + 3у = 0 (CD ).

Расстояние от точки М (х 0 ; у 0) до прямой Аx + By+C = 0 определяется по формуле:

Длину высоты CD найдем как расстояние от точки С (–6; 8) до прямой (АВ ): 3х – 4у – 13. Подставляя в формулу необходимые величины, найдем длину CD :

6. Уравнения биссектрис углов между прямыми Аx + By+ C = 0 и
А 1 x + B 1 y+ C 1 = 0 определяются по формуле:

Уравнение биссектрисы АК найдем как одно из уравнений биссектрис углов между прямыми (АВ )и (АС ).

Составим уравнение прямой (АС ) как уравнение прямой, проходящей через две точки А (–5; –7) и С (–6; 8):

Преобразуем последнее уравнение:

15(х + 5) = – (у + 7); 15х + у + 82 = 0 (AС ).

Подставляя коэффициенты из общих уравнений прямых (АВ )и (АС ), получим уравнения биссектрис углов:

Преобразуем последнее уравнение:

; (3х – 4у – 13) = ± 5 (15х + у + 82);

3 х – 4 у – 13 = ± (75х +5у + 410).

Рассмотрим два случая:

1) 3 х – 4 у – 13 = 75х +5у + 410.у l АВ .

Треугольник АВС, высота CD , медиана АЕ , биссектриса АК , прямая l и точка М построены в системе координат Оху (рис.7).

Окружностью называется совокупность всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром окружности. Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности называется. радиусом окружности.

- каноническое уравнение окружности(16) - центр окружности.

Если центр окружности лежит в начале координат, то уравнение окружности (16 .)

Эллипсом называется совокупность всех точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек этой плоскости (называемых фокусами этого эллипса) есть величина постоянная.

В (0;b)M(x,y)

r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a

(-а;0) F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) (а;0) X

Обозначим для краткости a 2 -b 2 =c 2 (*), тогда уравнение эллипса: (17)

Если положить y=0, то получается , а если положить х=0, получается ; значит, и - это длины полуосей эллипса – большой () и малой (). Кроме того, каждое из слагаемых в левой части не может быть больше единицы, откуда , , и потому весь эллипс расположен внутри прямоугольника. Точки A,B,C,D, в которых эллипс пересекается своими осями симметрии, называются вершинами эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Гиперболой называется совокупность всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух данных точек этой плоскости (называемых фокусами этой гиперболы) есть величина постоянная. Середина расстояния между фокусами называется центром гиперболы .

r 2 r 1 –r 2 =2a

F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) x

Обозначим a 2 -c 2 =-b 2 (**),уравнение гиперболы: (18)

Из этого уравнения видно, что и гипербола имеет две оси симметрии (главные оси), а так же центр симметрии (центр гиперболы).

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Если положить y=0, то получается , а если положить х=0, получается .

Значит ось Ох пересекает гиперболу в двух точках (вершинах гиперболы), это – вещественная ось ; Ось Оу гиперболу не пересекает – это «мнимая ось . » Всякий отрезок, соединяющий две точки гиперболы, если он проходит через центр, называется диаметром гиперболы.

Прямая, к которой кривая линия приближается сколь угодно близко, но никогда не пересекает ее называется асимптотой кривой. Гипербола имеет две асимптоты. Их уравнения: (19)

Параболой называется совокупность всех точек плоскости расстояние от каждой из которых до данной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой) .

- параметр параболы.

Парабола имеет одну ось симметрии. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы .

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо имеет вид (20)

Уравнение ее директрисы:

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены влево имеет вид (20 ,)

Уравнение ее директрисы:

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направлены вверх имеет вид (20 ,)

Уравнение ее директрисы:

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направлены вниз имеет вид (20 ,)

Уравнение ее директрисы:

y y

F 0 p/2 x -p/2 0 x

Y y

p/2

–p/2
Тема 2.1. Лекция 7.Занятие 10

Тема: Функции одной независимой переменной, их графики.

Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие ƒ, которое каждому элементу хÎ X сопоставляет один и только один элемент уÎ Y, называется функцией и записывается у=ƒ(х), хÎ X или ƒ: X→Y. Говорят еще, что функция ƒ отображает множество X на множество Y.

Например, соответствия ƒ и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г - нет. В случае в - не каждому элементу хÎX соответствует элемент уÎY. В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество X называется областью определения функции ƒ и обозначается D(f). Множество всех уÎY называется множеством значений функции ƒ и обозначается Е(ƒ).

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция ƒ : X→Y.

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т. е. XÌ R и YÌ R), то функцию ƒ называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у=ƒ(х).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у - функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у=у(х), не вводя новой буквы (ƒ) для обозначения зависимости.

Частное значение функции ƒ(х) при х=a записывают так: ƒ(a). Например, если ƒ(х)=2х 2 -3, то ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Графиком функции у=(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых х является значением аргумента, а у - соответствующим значением функции.

Например, графиком функции у=√(1-х 2) является верхняя полуокружность радиуса R=1 с центром в О(0;0) (см. рис. 99).

Чтобы задать функцию у=ƒ(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ : функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции у = ƒ(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции у= √(1-х2)является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у=ƒ(х).

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком - его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.