Коэффициент множественной корреляции (R ) характеризует тесноту связи между результативным показателем и набором фактор­ных показателей:

где σ 2 - общая дисперсия эмпирического ряда, характеризующая общую вариацию результативного показателя (у) за счет факторов;

σ ост 2 - остаточная дисперсия в ряду у, отражающая влияния всех факто­ров, кроме х;

у - среднее значение результативного показателя, вычисленное по ис­ходным наблюдениям;

s - среднее значение результативного показателя, вычисленное по уравнению регрессии.

Коэффициент множественной корреляции принимает только поло­жительные значения в пределах от 0 до 1. Чем ближе значение коэффи­циента к 1, тем больше теснота связи. И, наоборот, чем ближе к 0, тем за­висимость меньше. При значении R < 0,3 говорят о малой зависимости между величинами. При значении 0,3 < R < 0,6 говорят о средней тесноте связи. При R > 0,6 говорят о наличии существенной связи.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом детерминации (D ): D = R 2 . Коэффициент детермина­ции показывает, какая доля вариации результативного показателя свя­зана с вариацией факторных показателей. В основе расчета коэффици­ента детерминации и коэффициента множественной корреляции лежит правило сложения дисперсий, согласно которому общая дисперсия (σ 2) равна сумме межгрупповой дисперсии (δ 2) и средней из групповых дис­персий σ i 2):

σ 2 = δ 2 + σ i 2 .

Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость результа­тивного показателя за счет изучаемого фактора, а средняя из групповых дисперсий отражает колеблемость результативного показателя за счет всех прочих факторов, кроме изучаемого.

Математические модели корреляционного анализа в форме коэф­фициентов имеют ограниченные аналитические возможности. Зная лишь направление ковариации показателей и тесноту связи, невозмож­но определить закономерности формирования уровня результативного показателя под влиянием исследуемых факторов, оценить интенсив­ность их влияния, классифицировать факторы на основные и второсте­пенные. Для этих целей используются модели регрессионного анализа. Линейная модель (уравнение) регрессионного анализа может быть пред­ставлена в виде

у = bo + b 1 x 1 + b 2 x 2 +... + b n x n ,

где у - результативный показатель;

x 1 , x 2 , ..., x n - факторные модели;

b 0 , b 1 , b 2 , ..., b n - коэффициенты регрессии.

Смотрите также:

Коэффициент обладает следующими свойствами:

1) не имеет размерности, следовательно, сопоставим для величин различных порядков;

2) изменяется в диапазоне от –1 до +1. Положительное значение свидетельствует о прямой линейной связи, отрицательное – об обратной. Чем ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем теснее связь. Считается, что связь достаточно сильная, если коэффициент по абсолютной величине превышает 0,7, и слабая, если он менее 0,3.

Значение коэффициента легко вычисляется при помощи MS Excel (функция КОРРЕЛ).

Величина r 2 называется коэффициентом детерминации . Он определяет долю вариации одной из переменных, которая объясняется вариацией другой переменной.

6. Коэффициент множественной корреляции

Экономические явления чаще всего адекватно описываются именно многофакторными моделями. Поэтому возникает необходимость обобщить рассмотренное выше корреляционное отношение (6.4) на случай нескольких переменных.

Теснота линейной взаимосвязи между переменной y и рядом переменных x j , рассматриваемых в целом, может быть определена с помощью коэффициента множественной корреляции .

Предположим, что переменная y испытывает влияние двух переменных - x и z . В этом случае коэффициент множественной корреляции может быть определен по формуле:

.

(6.9)

где r yx , r yz , r xz - простые коэффициенты линейной парной корреляции, определенные из соотношения (6.4).

Коэффициент множественной корреляции заключен в пределах 0 ≤ R ≤ 1. Он не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного коэффициента корреляции с таким же первичным индексом.

С помощью множественного коэффициента (по мере приближения R к 1) делается вывод о тесноте взаимосвязи, но не о ее направлении. Величина R 2 , называемая множественным коэффициентом детерминации , показывает, какую долю вариации исследуемой переменной (y ) объясняет вариация остальных учтенных переменных (x , z ).

7. Коэффициент частной корреляции

Иногда представляет интерес измерение частных зависимостей (между y и x j ) при условии, что воздействие других факторов, принимаемых во внимание, устранено. В качестве соответствующих измерителей приняты коэффициенты частной корреляции .

Рассмотрим порядок расчета коэффициента частной корреляции для случая, когда во взаимосвязи находятся три случайные переменные – x , y , z . Для них могут быть получены простые коэффициенты линейной парной корреляции – r yx , r yz , r xz . Однако большая величина этого коэффициента может быть обусловлена не только тем, что y и x действительно связаны между собой, но и в силу того, что обе переменные испытывают сильное действие третьего фактора – z .

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и x ) при условии, что влияние на них третьего фактора (z ) устранено.

Соответствующая расчетная формула:

.

(6.10)

Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции r (рассчитанный по формуле (6.4)), может принимать значения от -1 до 1.

Автокорреляция - это корреляционная зависимость уровней ряда от предыдущих значений.

Аддитивная модель временного ряда имеет вид : Y=T+S+E

Автокорреляция имеется когда каждое следующее значение остатков

Аддитивная модель временного ряда – это модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент.

Аддитивная модель временного ряда строится: амплитуда сезонных колебаний возрастает и уменьшается

Аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны, известна как.. уравнение.

Атрибутивная переменная 1 может употребляться, когда: независимая переменная качественна;

В каких пределах изменяется коэффициент детерминанта : от 0 до 1.

Величина доверительного интервала позволяет установить предположение о том, что: интервал содержит оценку параметра неизвестного.

Внутренне нелинейная регрессия - это истинно нелинейная регрессия, которая не может быть приведена к линейной регрессии преобразованием переменных и введением новых переменных.

Временной ряд - это последовательность значений признака (результативного переменного), принимаемых в течение последовательных моментов времени или периодов.

Выборочное значение Rxy не > 1, |R| < 1

В каком случае модель считается адекватной Fрасч>Fтабл

В результате автокорреляции имеем неэффективные оценки параметров

В хорошо подобранной модели остатки должны и меть нормальный закон

В эконометрическом анализе Xj рассматриваются как случайные величины

Величина рассчитанная по формуле r =…является оценкой парного коэф. Корреляции

Выборочный коэффициент корреляции r по абсолютной величине не превосходит единицы.

В каком случае функцию у называют многозначной аргумента х если одному и тому же значению х соответствует несколько значений у.

В эконометрических моделях эндогенная переменная рассматривается как как случайная величина, так и неслучайная.

В уравнении системы экономич.уравнений Д=1,число эндогенных переменных,Д-число отсутст.переменных.Это уравнение: индентифицируемое.

Выборочный коэф. корреляции r по абсолютной величине : не превосходит единицы.

В экономико-математической модели процессы, зависящие от внешних условий, но независящие от внутренней структуры изучаемого явления или процесса, описываются через экзогенные переменные.

Выборочное среднее есть ...оценка среднего теоретического (математического ожидания).

Выборочной совокупности V=(1,0,3,2,4,3,1,3,2,3,3,4,4,0,5,2,4,3,4,3,3) определить выборочный коэффициент эксцесса... 2.714

Выберете модель с лагами: Уt= a+b0x1…….(самая длинная формула)

Всякая функция вида g(x) = E(Y | X = x), которая описывает регрессионную зависимость для двумерного распределения пары случайных величин (Y,X), причем символом Е - обозначена операция вычисления среднего значения, называется функция корреляции.

В каких пределах изменяется множественный коэффициент корреляции R ответ2

R≤0(ответ1) -1≤R≤+1 (ответ2) R≥0 (ответ3)

Верно ли, что одной из целей регрессионного анализа является проверка статических гипотез о регрессии? Ответ: да

Гетероскедастичность - нарушение постоянства дисперсии для всех наблюдений.

Гетероскедастичность присутствует когда: * когда дисперсия остатков различна.дисперсия случайных остатков не постоянна; мы сторим неправильную версию истиной модели; две или больше независим. переменные имеют высокую корреляцию; независимая переменная исчисляется с ошибкой.

Гомоскедастичность - когда дисперсия остатков постоянна и одинакова для всех … наблюдений.постоянство дисперсии для всех наблюдений, или одинаковость дисперсии каждого отклонения (остатка) для всех значений факторных переменных.

Гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков доказана, если Dтабл2...

Дисперсия - показатель вариации.

Для определения параметров не идентифицированной модели примен.: не один из сущ. методов применить нельзя.

Для оценки … изменения y от x вводится: коэффициент эластичности.

Для оценки качества модели используется F-критерий Фишера. Что можно сказать о регрессионной модели, если ее F-отношение больше F-критического модель адекватна исходным данным.

Для проверки значимости отдельных параметров регрессии используется : t-тест.

Доверительная вероятность – это вероятность того, что истинное значение результативного показателя попадёт в расчётный прогнозный интервал.

Для определения параметров структурную форму модели необходимо преобразовать в приведенную форму модели

Для определения параметров точно идентифицируемой модели: применяется косвенный МНК (косвенный МНК);

Для парной регрессии ơ² b равно ….(xi-x¯)²)

Для регрессии y = a + bx из n наблюдений интервал доверия (1-а)% для коэф. b составит b±t…….·ơb

Для регрессии из n наблюдений и m независимых переменных существует такая связь между R ² и F ..=[(n-m-1)/m](R²/(1- R²)]

Допустим что для описания одного экономического процесса пригодны 2 модели. Обе адекватны по f критерию фишера. какой предоставить преимущество, у той у кот.: большее значения F критерия

Допустим, что зависимость расходов от дохода описывается функцией y = a + bx среднее значение у=2…равняется 9

Допустим, что зависим. расходов от дохода описывается а+в/х. Сред.знач.у=3,ср.знач.х=2,коэф.эластич.расходов от дохода равен : -0,5

Для оценки качества модели используется F-критерий Фишера. Что можно сказать о регрессионной модели, если ее F-отношение больше F-критического модель адекватна исходным данным

Для оценки линейной статистической зависимости между одной случайной величиной и линейной комбинацией других случайных величин используют … Коэффициент корреляции множественный R

Для определения параметров СВЕРХ идентифицируемой модели: применяется двухшаговый МНК.

Добавить в таблицу дисперсионного анализа пропущенные значения, вычислить множественный коэффициент корреляции R (детерминации R V 2) и проверить его значимость. Какой вывод можно сделать о качестве модели?

источник	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средние квадраты	F-значение
регрессия

Ответ: R2=0.719, модель адекватна данным

С помощью значений таблицы (рис. Выше) дисперсионного анализа определить значимость регрессии, используя F - критерий. Критическое значение Fa,v1,v2 =4.3 при при уровне значимости a=0.05 и степенях свободы v1=1 и v2=23. Какой вывод можно сделать о качестве используемой моделей регрессии.

Ответ: F=2.5, модель неадекватна данным

Если Rxy положителен, то с ростом x увеличивается y.

Если качественный фактор имеет 3 градации, то необходимое число фиктивных переменных 2

Если регрессионная модель имеет показательную зависимость, то метод МНК применим после приведения к линейному виду.

Если в уравнении регрессии имеется несущественная переменная, то она обнаруживает себя по низкому значению T статистки.

Если коэффициент корреляции положителен, то в линейной модели с ростом х увеличивается у.

Если мы заинтересованы в использовании атрибутивных переменных для отображения эффекта разных месяцев мы должны использовать: 11 атрибутивных методов.

Если коэффициент регрессии составляет 2.4 с дисперсией 0.8, то значение критерия Стьюдента составит:

Ответ: первый вариант ответа

Значимость уравнения регрессии - действительное наличие исследуемой зависимости, а не просто случайное совпадение факторов, имитирующее зависимость, которая фактически не существует.

Значимость уравнения регрессии в целом оценивают : -F-критерий Фишера

Значимость частных и парных коэф . корреляции поверен. с помощью: -t-критерия Стьюдента

Зависимость между коэффициентом множественной детерминации (D ) и корреляции (R ) описывается следующим методом R=√D

Интеркорреляция и связанная с ней мультиколлинеарность - это приближающаяся к полной линейной зависимости тесная связь между факторами.

Корреляция - стохастическая зависимость, являющаяся обобщением строго детерминированной функциональной зависимости посредством включения вероятностной (случайной) компоненты.

Коэффициент автокорреляции: характеризует тесноту линейной связи текущего и предстоящего уровней ряда.

Коэффициент детерминации - показатель тесноты стохастической связи в общем случае нелинейной регрессии

Коэффициент детерминации : - это квадрат множественного коэф. корреляции. квадрат парного коэффициента корреляции.

Коэффициент детерминации – это величина, которая характеризует связь между зависимыми и независимыми переменными.

Коэффициент детерминации R показывает долю вариаций зависимой переменной y, объяснимую влиянием факторов, включаемых в модель.

Коэффициент детерминации изменяется в пределах : - от 0 до 1

Коэффициент доверия - это коэффициент, который связывает линейной зависимостью предельную и среднюю ошибки, выясняет смысл предельной ошибки, характеризующей точность оценки, и является аргументом распределения (чаще всего, интеграла вероятностей). Именно эта вероятность и есть степень надежности оценки.

Коэффициент доверия (нормированное отклонение) - результат деления отклонения от среднего на стандартное отклонение, содержательно характеризует степень надежности (уверенности) полученной оценки.

Коэффициент корелляции Rxy используется для определения полноты связи X и Y.

Коэффициент корелляции равный 1 означает , что: -существует функциональная зависимость.

Коэффициент корелляции равный 0 означает, что: - отсутствует линейная связь.

Коэф. корреляции, равный нулю, означает, что между переменными ситуация не определена.

Коэф. корреляции, равный -1,означает, что между переменными функциональная зависимость.

Коэффициент корреляции рассчитывается для измерения степени линейной взаимосвязи между двумя случайными переменными.

Коэффициент корелляции меняется в пределах: от -1 до 1

Коэффициент корреляции используется для: определения тесноты связи между случайными величинами X и Y.

Коэффициэнт корреляции- это I :

Ответ: величина, которая характеризует связь между независимой и зависимойIзависящейIпеременными;

Коэффициент линейной корреляции - показатель тесноты стохастической связи между фактором и результатом в случае линейной регрессии.

Коэффициент регрессии - коэффициент при факторной переменной в модели линейной регрессии.

Коэффициент регрессии b показывает: на сколько единиц увеличивается y, если x увеличивается на 1.

Какое из уравнений регрессии явл. степенным: y=a˳aͯ¹a

Какой метод используют для оценки параметров регрессионной модели метод наименьших квадратов МНК.

Какие переменные используются в регрессионной модели одна экзогенная и одна или несколько эндогенных.

Классический метод к оцениванию параметров регрессии основан на: - метод наименьших квадратов.

Коэффициент регрессии изменяется в пределах: применяется любое значение; от 0 до 1; от -1 до 1;

Коэффициент эластичности измеряется в : неизмеримая величина.

Критерий Дарвина-Чотсона применяется для : - отбора факторов в модель; или - определения автокорреляции в остатках

Критерий Стьюдента - проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии и значимости коэффициента корреляции.

Критерий Фишера показывает : статистическую значимость модели в целом, на основе совокупной достоверности всех ее коэффициентов

Критерий Фишера - способ статистической проверки значимости уравнения регрессии, при котором расчетное (фактическое) значение F-отношения сравнивается с его критическим (теоретическим) значением.

Какая статистическая характеристика выражается формулой R ²=… коэффициент детерминации

Какая статистическая хар-ка выражена формулой : r xy = Ca (x ; y ) разделить на корень Var (x )* Var (y ): коэффициент. Корреляции

Какая функция используется при моделировании моделей с постоянным ростом степенная

Какие точки исключаются из временного ряда процедурой сглаживания и в начале, и в конце.

Количество степеней свободы для t статистики при проверки значимости параметров регрессии из 35 наблюдений и 3 независимых переменных 31;

Количество степеней свободы знаменателя F -статистики в регрессии из 50 наблюдений и 4 независимых переменных: 45

Компоненты вектора Ei и меют нормальный закон.

Какая переменная соответствует понятию функция зависимая переменная .

Какая модель не относится к классу эконометрических моделей физическая модель .

Какие экономико-математические модели не относятся к эконометрическим теоретико-экономические модели.

Какая модель не относиться к классу эконометрических моделей? Ответ: физическая модель.

Как называют измеренное значение варьирующего признака? Ответ: варианта

Какую статистику используют для оценки теоретического значения генеральной совокупности, определяемого формулой D(x)=m{(x-m(x)) 2 } Выборочный коэффициент ассиметрии

Как называется статистическое исследование структуры, связей явлений, тенденций, закономерностей экономических явлений и процессов? Прогноз статистический

Лаговые переменные : - это переменные, относящиеся к предыдущим моментам времени; или -это значения зависим. перемен. за предшествующий период времени.

Линейная регрессия - это связь (регрессия), которая представлена уравнением прямой линии и выражает простейшую линейную зависимость.

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием факторных признаков, т.е. определяет, какая доля вариации признака у учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов, включенных в модель:

Множественный коэффициент корреляции может быть найден как корень квадратный из коэффициента детерминации. Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем теснее связь между результатом и всеми факторами и уравнение регрессии лучше описывает фактические данные. Если множественный коэффициент корреляции близок к нулю, то уравнение регрессии плохо описывает фактические данные, и факторы оказывают слабое влияние на результат. Этот коэффициент в отличие от парного коэффициента корреляции не может быть использован для интерпретации направления связи.

Значение коэффициента множественной корреляции больше или равно величине максимально коэффициента парной корреляции:

Для линейной множественной регрессии коэффициент множественной корреляции может быть рассчитан по следующей формуле:

Соответственно множественный коэффициент детерминации:

Существует еще одна формула для расчета множественного коэффициента корреляции для линейной регрессии:

где - определитель полной матрицы линейных парных коэффициентов корреляции (т.е. включающей парные линейные коэффициенты корреляции факторов с результатом и между собой):

Определитель матрицы линейных парных коэффициентов корреляции факторов между собой:

Рассчитывается также скорректированный коэффициент детерминации:

где n – число наблюдений;

m – число параметров уравнения регрессии без учета свободного члена (для линейной регрессии, например, это число равно числу факторов, включенных в модель).

Скорректированный коэффициент детерминации применяется для решения двух задач: оценки реальной тесноты связи между результатом и факторами и сравнения моделей с разным числом параметров. В первом случае обращают внимание на близость скорректированного и нескорректированного коэффициентов детерминации. Если эти показатели велики и различаются незначительно, модель считается хорошей.

При сравнении разных моделей предпочтение при прочих равных условиях отдается той, у которой больше скорректированный коэффициент детерминации.

Следует отметить, что область применения скорректированного коэффициента детерминации ограничивается только этими задачами. Его нельзя использовать в формулах, где применяется обычный коэффициент детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации нельзя интерпретировать как долю вариации результата, объясненную вариацией факторов, включенных в модель регрессии.

Для проверки существенности коэффициента множественной корреляции используют F -критерий Фишера, который определяется по формуле:

где R 2 – множественный коэффициент детерминации;

m – число параметров при факторах х в уравнении множественной регрессии (в парной регрессии m =1).

Полученное значение F-критерия сравнивается с табличным при определенном уровне значимости и m и n-m-1 степенях свободы. Если расчетное значение F -критерия больше табличного, уравнение множественной регрессии признается значимым.

Множественный коэффициент корреляции используется в качестве меры степени тесноты статистической связи между результирующим показателем (зависимой переменной) y и набором объясняющих (независимых) переменных или, иначе говоря, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Множественный коэффициент корреляции может быть вычислен по ряду формул 5 , в том числе:

с использованием матрицы парных коэффициентов корреляции

, (3.18)

где r - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции y ,
,

r 11 - определитель матрицы межфакторной корреляции
;

. (3.19)

Для модели, в которой присутствуют две независимые переменные, формула (3.18) упрощается

. (3.20)

Квадрат множественного коэффициента корреляции равен коэффициенту детерминации R 2 . Как и в случае парной регрессии, R 2 свидетельствует о качестве регрессионной модели и отражает долю общей вариации результирующего признака y , объясненную изменением функции регрессии f (x ) (см. 2.4). Кроме того, коэффициент детерминации может быть найден по формуле

. (3.21)

Однако использование R 2 в случае множественной регрессии является не вполне корректным, так как коэффициент детерминации возрастает при добавлении регрессоров в модель. Это происходит потому, что остаточная дисперсия уменьшается при введении дополнительных переменных. И если число факторов приблизится к числу наблюдений, то остаточная дисперсия будет равна нулю, и коэффициент множественной корреляции, а значит и коэффициент детерминации, приблизятся к единице, хотя в действительности связь между факторами и результатом и объясняющая способность уравнения регрессии могут быть значительно ниже.

Для того чтобы получить адекватную оценку того, насколько хорошо вариация результирующего признака объясняется вариацией нескольких факторных признаков, применяют скорректированный коэффициент детерминации

(3.22)

Скорректированный коэффициент детерминации всегда меньше R 2 . Кроме того, в отличие от R 2 , который всегда положителен,
может принимать и отрицательное значение.

Пример (продолжение примера 1) . Рассчитаем множественный коэффициент корреляции, согласно формуле (3.20):

Величина множественного коэффициента корреляции, равного 0,8601, свидетельствует о сильной взаимосвязи стоимости перевозки с весом груза и расстоянием, на которое он перевозится.

Коэффициент детерминации равен: R 2 =0,7399.

Скорректированный коэффициент детерминации рассчитываем по формуле (3.22):

=0,7092.

Заметим, что величина скорректированного коэффициента детерминации отличается от величины коэффициента детерминации.

Таким образом, 70,9% вариации зависимой переменной (стоимости перевозки) объясняется вариацией независимых переменных (весом груза и расстоянием перевозки). Остальные 29,1% вариации зависимой переменной объясняются факторами, неучтенными в модели.

Величина скорректированного коэффициента детерминации достаточно велика, следовательно, мы смогли учесть в модели наиболее существенные факторы, определяющие стоимость перевозки. 

Похожие статьи